Inauguro esta sesión matemática de mis recuerdos del instituto hablando del Teorema de Bolzano. Pero antes, quiero recordar esos años de matemáticas apasionantes, lenguas lujuriosas (académicamente hablando), ciencias naturales como Dios manda, e idiomas vivos y muertos (francés y latín). Mis días en el Instituto Alto Conquero, con los Javier (primero uno y después otro) en el mando de las matemáticas, Juan Bosco en las naturales, la profesora de francés que no recuerdo el nombre pero sí la cara, la profesora de COU de química, la profesora de segundo de BUP a quién le gastamos una broma pero que nos felicitó, … Recuerdos de los paseos por la mañana de camino al instituto, subiendo el montículo de los eucaliptos, las bromas que nos gastábamos… Las amistades de toda la vida (¿verdad, Rogelio?), los primeros amores (¡ay María Jesús!)…

Me encantaban las matemáticas; me gustaría volver a ponerme las pilas recordando los distintos teoremas y los métodos matemáticos. Empecemos.

Teorema de Bolzano.

Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b], tal que f(a) < 0 < f(b). Entonces existe un punto c tal que f(c) = 0.

Recuerdo los símbolos matemáticos. En matemática se diría:

Sea f(x) continua en [a, b] / f(a) < 0 < f(b). ∃ c / f(c) = 0.

En términos lógicos, y también gráficos, la definición o la visualización es sencilla:

La función en la figura dice de un punto, pero f(x) puede crucar el eje de abscisas varias veces.

La demostración es simple y es por el método de aproximaciones sucesivas. Se toma el punto de la mitad del intervalo a, b: z=(a+b)/2. Se calcula f(z).

• Si f(z) = 0, entonces ya se ha encontrado el punto.
• Si f(z) < 0, entonces el punto c se encuentra en el intervalo [z, b].
• Si f(z) > 0, entonces el punto c se encuentra en el intervalo [a, z].

Si f(z) <> 0, entonces se repite la operación con el intervalo identificado ([z, b] o [a, z], calculando el punto intermedio).

Magnífico ejemplo de un teorema que sirve como base a otras demostraciones.

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